Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] , thỏa mãn f(0)=1

Đáp án D

Giả thiết tương đương với 3∫01[f'(x).f(x)]2dx+13=2∫01f'(x).f(x)dx.

⇔∫01[3f'(x).f(x)]2dx−2∫013f'(x).f(x)dx+∫01dx=0⇔∫01[3f'(x).f(x)−1]2dx=0⇔3f'(x).f(x)=1,∀x∈[0;1]⇔9f'(x).f2(x)=1

 hay 9∫f2(x)d(f(x))dx=∫dx⇒3f3(x)=x+C.

Do f(0)=1, nên ta có: 3f3(0)=0+C⇔C=3 .

Vậy f3(x)=13x+1⇒∫01f3(x)dx=76.