Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Xét \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x + m} \right)\). Ta có: \(y' = g'\left( x \right) = 2\left( {x + 1} \right)f'\left( {{x^2} + 2x + m} \right)\).

Vì \(x + 1 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) nên để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x + m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( {{x^2} + 2x + m} \right) > 0\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + m \le - 2,\,\,\forall x \in \left( {0\,;1} \right)\\0 \le {x^2} + 2x + m \le 3,\,\,\forall x \in \left( {0\,;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m \le - {x^2} - 2x - 2,\,\,\forall x \in \left( {0\,;1} \right)\\ - {x^2} - 2x \le m \le - {x^2} - 2x + 3,\,\,\forall x \in \left( {0\,;1} \right)\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \mathop {Min}\limits_{\left( {0;1} \right)} \left( { - {x^2} - 2x - 2} \right)\\\mathop {Max}\limits_{\left( {0\,;1} \right)} \left( { - {x^2} - 2x} \right) \le m \le \mathop {Min}\limits_{\left( {0\,;1} \right)} \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 5\\0 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 5\\m = 0\end{array} \right.\].

Do \( - 20 \le m \le 20\) nên \[m \in \left\{ { - 20; - 19\,; - 18\,;...; - 5\,;0} \right\}\].

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đáp án cần nhập là: 17.