Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x)^3 - 3f(x)

Ta tính đạo hàm của hàm số hợp \(g\left( x \right)\):

\(g'\left( x \right) = 3{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} \cdot f'\left( x \right) - 6f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) = 3f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) \cdot \left[ {f\left( x \right) - 2} \right]\).

Xét phương trình đạo hàm bằng 0: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( x \right) = 0\quad \left( 1 \right)}\\{f\left( x \right) = 0\quad \left( 2 \right)}\\{f\left( x \right) = 2\quad \left( 3 \right)}\end{array}} \right.\).

Từ bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm đơn phân biệt, tương ứng với các điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\). Dựa vào bảng biến thiên, \(f\left( x \right)\) có \(4\) điểm cực trị. Vậy phương trình (1) cho \(4\) nghiệm đơn.

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\): Số nghiệm đơn (cắt qua không trùng cực trị) của \(f\left( x \right) = 0\) là 1.

Phương trình \(f\left( x \right) = 2\): Số nghiệm đơn (cắt qua không trùng cực trị) của \(f\left( x \right) = 0\) là 3.

Tổng số cực trị: 4 + 1 + 3 = 8.

Kết quả: 8.