Cho hàm số f(x) biết f'(x) = x^2(x-1)^3(x^2-2mx+m-6).

Cho \({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{{x^2} - 2mx + m + 6 = 0}\end{array}} \right.\).     

Trong đó \(x = 0\) là nghiệm bội chẵn, \(x = 1\) là nghiệm bội lẻ.

Để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị thì \({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = 0\) chỉ đổi dấu 1 lần.

Trường hợp 1: \({x^2} - 2mx + m + 6 \ge 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 3\).

Do \({\rm{m}} \in \mathbb{Z}\) nên \({\rm{m}} \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right\}\). Suy ra có 6 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: Tam thức \({x^2} - 2mx + m + 6\) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là \(x = 1\).

Khi đó \({1^2} - 2m.1 + m + 6 = 0 \Rightarrow m = 7\).

Vậy \[m \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,7} \right\}.\] Đáp án: 7.