Cho hàm số f(x) = 2|x-1|. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn

26/150

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\left| {x - 1} \right|.\) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = 5.\) Giá trị của biểu thức \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right)\) bằng

Giải thích

• TH1: Với \(x < 1\) suy ra \(f(x) = 2(1 - x) = 2 - 2x\).

Khi đó \(F(x) = \int {\left( {2x - 2} \right)\,} dx = 2x - {x^2} + {c_1}\).

• TH2: Với \(x \ge 1\) suy ra \(f(x) = 2(x - 1) = 2x - 2\).

Khi đó \(F(x) = \int {\left( {2x - 2} \right)\,} dx = {x^2} - 2x + {c_2}\).

Ta có \(F\left( 0 \right) = 2.0 - {0^2} + {c_1} = {c_1}\); \(F\left( 2 \right) = {2^2} - 2.2 + {c_2} = {c_2}\).

Suy ra \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2} = 5\).

Lại có \(F\left( 3 \right) = {3^2} - 2.3 + {c_2} = 3 + {c_2}\); \(F\left( { - 2} \right) = - 2.2 - {\left( { - 2} \right)^2} + {c_1} = {c_1} - 8\).

Vậy \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right) = 3 + {c_2} + {c_1} - 8 = 3 + 5 - 8 = 0\). Chọn B.