Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\) có nghiệm

Xét bất phương trình\(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\). (*)

Đặt \({e^x} = t\left( {t > 0} \right)\) với: \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {{e^0};\,\,{e^1}} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;\,\,e} \right)\).

Ta được bất phương trình\(f\left( t \right) < m\left( {3t + 2019} \right) \Leftrightarrow m > \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}\) (vì \(3t + 2019 > 0\) với \(\left. {t \in \left( {1;e} \right)} \right)\)

Để bất phương trình (*) có nghiệm\(x \in \left( {0;1} \right)\)thì bất phương trình (1) có nghiệm\(t \in \left( {1\,;\,\,e} \right)\).

Ta xét hàm\(g\left( t \right) = \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}\)  trên \(\left( {1\,;\,\,e} \right)\). Ta có \(g'\left( t \right) = \frac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}}\).

Nhận xét rằng đồ thị hàm số\(y = f\left( t \right)\) có tính chất giống với đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right)\)nên xét trên khoảng\(\left( {1\,;\,\,e} \right)\)ta thấy rằng\(f\left( t \right) < 0\)và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến trên\(\left( {1\,;\,\,e} \right)\) nên \(f'\left( t \right) > 0\).

Từ đó \(g'\left( t \right) = \frac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}} > 0\) với \(t \in \left( {1\,;\,\,e} \right)\)hay hàm số\[g\left( t \right)\]đồng biến trên\(\left( {1\,;\,\,e} \right).\)

Từ bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình\[m > \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}\] với \(t \in \left( {1\,;\,\,e} \right)\) thì \(m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\,\,e} \right]} g\left( t \right) \Leftrightarrow m >  - \frac{2}{{1011}}.\)Chọn C.