Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\,0} \right)

Xét hàm số \[y' = 2xf\left( x \right) + {x^2}f'\left( x \right) = x\left[ {2f\left( x \right) + xf'\left( x \right)} \right].\]

Vì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) và \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,\,0} \right)\) suy ra \(xf'\left( x \right) > 0 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Ngoài ra \(f(x)\) nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}\) nên \(2f\left( x \right) + xf'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

Do đó \(y'\) chỉ đồi dấu đúng 1 lần qua điểm \(x = 0\), nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Đáp án: 1.