Cho hàm số \(f( x)\) xác định trên {R} { 1 ) thỏa mãn

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{x - 1}}dx = \ln \left| {x - 1} \right| + C} = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

 

Ta có \(f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\); \(f\left( 4 \right) = 3 \Leftrightarrow \ln \left( {4 - 1} \right) + {C_1} = 3 \Leftrightarrow {C_1} = 3 - \ln 3\).

Do đó \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + 3 - \ln 3\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Do đó \(f\left( { - 2} \right) = \ln 3 + 2;f\left( 2 \right) = 3 - \ln 3\). Suy ra \(f\left( { - 2} \right) + f\left( 2 \right) = 5\).