Cho hàm số f ( x ) = − x^4 + 4 x^2 + m với m > 0 . Giá trị của tham số m thuộc những khoảng nào dưới đây để đường thẳng y = 8 cắt đồ thị hàm số y = | f ( x ) | tại 4 điểm phân biệt?

95/100

Cho hàm số $f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m$ với $m > 0$. Giá trị của tham số $m$ thuộc những khoảng nào dưới đây để đường thẳng $y = 8$ cắt đồ thị hàm số $y = |f(x)|$ tại 4 điểm phân biệt?

$(1;4)$.

$(3;6)$.

$(2;5)$.

$(5;8)$.

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Do $m > 0$ nên đồ thị hàm số $f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m$ thu được do tịnh tiến đồ thị hàm số $f(x) = - {x^4} + 4{x^2}$ lên trên $m$ đơn vị.

$Cho hàm số $f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m$ với $m > 0$. Giá trị của tham số $m$ thuộc những khoảng nào dưới đây để đường thẳng $y = 8$ cắt đồ thị hàm số $y = |f(x)|$ tại 4 điểm phân biệt? A. $(1;4)$. B. $(3;6)$. C. $(2;5)$. D. $(5;8)$. (ảnh 1)$

Để đường thẳng y = 8 cắt đồ thị hàm số y = ∣f(x)∣ tại 4 điểm phân biệt thì đường thẳng y = 8 phải đi qua hai điểm cực đại của hàm số y = f(x), hay xcđ là nghiệm của phương trình f(x) = 8. (∗)

Ta có: \[f\prime (x) = - 4{x^3} + 8x\]

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \sqrt 2 }\\{x = 0}\\{x = \sqrt 2 }\end{array}} \right.\]

Vậy xcđ = ±$\sqrt 2 $.

f(xcđ) = 4 + m.

Từ (∗) suy ra 4 + m = 8 ⇔ m = 4.

Chọn B