Cho hàm số f ( x ) = x^2 + x + 1 k h i x ≤ − 1 x + 2 k h i − 1 < x < 1 2 x + 3 k h i x ≥ 1 .

a) Với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\), \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = - 2\).

b) Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\) liên tục trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)\); \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\].

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = - 1\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 1\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.