Cho hàm số f ( x ) = { √ x x k h i x ≠ 0 0 k h i x = 0 . Xét hai mệnh đề sau: (I) Hàm số có đạo hàm tại x 0 = 0 và f′(0) = 1 (II) Hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0 . Mệnh đề nà

14/30

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hàm số có đạo hàm tại \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 0}}\] và f′(0) = 1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 0}}\].

Mệnh đề nào đúng?

Chỉ (I)

Chỉ (II)

Cả 2 đều đúng

Cả 2 đều sai.

Giải thích

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{0}} \right)}}{{{\rm{x}} - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{{{\rm{x}}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} \frac{1}{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} }} = + \infty \Rightarrow \] Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Đáp án cần chọn là: B