Cho hàm số f ( x ) = { √ x k h i x > 1 x 2 k h i x ≤ 1 . Tính f′(1) ?

7/30

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x \,\,khi\,\,x > 1}\\{{x^2}\,\,khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.\). Tính f′(1) ?

\(\frac{1}{2}\)

không tồn tại.

Giải thích

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {\rm{x}} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \left( {{\rm{x}} + 1} \right) = 2\]

\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ + }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {1^ - }} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}}\]

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1.

Đáp án cần chọn là: D