Cho hàm số f ( x ) = { √ x + 4 − 2 / x k h i x > 0 m x^2 + 2 m + 1/4 k h i x ≤ 0 , với m là tham số.

32/55

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 0\\m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}{\rm{khi}}\;x \le 0\end{array} \right.\), với \(m\) là tham số.

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).

\(f\left( 0 \right) = 2m + \frac{1}{4}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) khi \(m = \frac{1}{4}\).

Giải thích

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).

b) \(f\left( 0 \right) = m \cdot {0^2} + 2m + \frac{1}{4} = 2m + \frac{1}{4}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}} \right) = 2m + \frac{1}{4}\).

Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) thì \(2m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.