Cho hàm số f ( x ) = { √ x + 3 − m x − 1 k h i x ≠ 1 n k h i x = 1 . Để hàm số liên tục tại x 0 = 1 thì giá trị của biểu thức ( m + n ) tương ứng bằng:

12/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 3} - m}}{{x - 1}}\,khi\,x \ne 1\\n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 1\end{array} \right..\) Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì giá trị của biểu thức \(\left( {m + n} \right)\) tương ứng bằng:

\(\frac{3}{4}.\)

\(1.\)

\( - \frac{1}{2}.\)

\(\frac{9}{4}.\)

Giải thích

Chọn D

Ta có: \(f\left( 1 \right) = n.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + m} \right)}}.\)

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + m} \right)}}\,\,\,\,(1).\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)tồn tại khi \(1\) là nghiệm của phương trình: \(1 + 3 - {m^2} = 0\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right..\)

+ Khi \(m = 2\) thì \(\left( 1 \right)\, \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}.\)

+ Khi \(m = - 2\) thì \(\left( 1 \right) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\) suy ra không tồn tại \(n.\)

Vậy \(m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\)