Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 .

16/22

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 1)

ĐúngSai

Điểm cực tiểu của hàm số là $x = - 1$.

ĐúngSai

Giả sử hàm số

f (x)

đã cho có hai điểm cực trị là

x_{1}, x_{2}

. Khi đó giá trị

x_{1} \cdot x_{2} = - 1

ĐúngSai

Gọi

A, B

lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = f (x) + 1

. Độ dài đoạn thẳng

A B

là

2 \sqrt{5}

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. Tìm đạo hàm của hàm số: $f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 3 x ^{2} - 3$.

Cho $f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0 \Leftrightarrow 3 x ^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$hoặc $x = - 1$.

Lập bảng xét dấu của đạo hàm cho thấy: Trên khoảng $\left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)$, đạo hàm $f^{'} \left(\right. x \left.\right) < 0$nên hàm số nghịch biến.

b) Sai. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x = 1$, do đó $x = 1$mới là điểm cực tiểu của hàm số. Tại điểm $x = - 1$đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên là điểm cực đại.

c) Đúng. Hai điểm cực trị của hàm số là $x _{1} = - 1$và $x _{2} = 1$. Tích của chúng là $x _{1} \cdot x _{2} = \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot 1 = - 1$.

d) Đúng. Xét đồ thị hàm số mới $y = f \left(\right. x \left.\right) + 1 = x ^{3} - 3 x + 2$.

Với điểm cực đại $x = - 1 \Rightarrow y = \left(\right. - 1 \left.\right) ^{3} - 3 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) + 2 = 4 \Rightarrow A \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)$.

Với điểm cực tiểu $x = 1 \Rightarrow y = 1 ^{3} - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \Rightarrow B \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)$.

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị $A B$là:

$A B = \sqrt{\left(\right. x _{B} - x _{A} \left.\right) ^{2} + \left(\right. y _{B} - y _{A} \left.\right) ^{2} } = \sqrt{\left(\right. 1 - \left(\right. - 1 \left.\right) \left.\right) ^{2} + \left(\right. 0 - 4 \left.\right) ^{2} } = \sqrt{2 ^{2} + \left(\right. - 4 \left.\right) ^{2} } = \sqrt{4 + 1 6 } = \sqrt{2 0 } = 2 \sqrt{5 }$.