Cho hàm số f ( x ) = { x 2016 + x − 2 √ 2018 x + 1 − √ x + 2018 k h i x ≠ 1 k k h i x = 1 . Tìm k để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 .

9/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Tìm \(k\) để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

\[k = 2\sqrt {2019} \].

\[k = \frac{{2017.\sqrt {2018} }}{2}\].

\[k = 1\].

\[k = \frac{{20016}}{{2017}}\sqrt {2019} \].

Giải thích

Chọn A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} - 1 + x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017{\rm{x}} - 2017}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}\)\( = 2\sqrt {2019} \)

Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019} \).