Cho hàm số f ( x ) = { x 2 , x ≤ 1 , 1 x , x > 1. a) Chứng tỏ rằng hàn số f(x) liên tục trên ℝ. b) Tính 2 ∫ − 1 f ( x ) d x .

a) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{x} = 1;{\rm{ }}f\left( x \right) = 1\].

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

b) Ta có: \[\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} \]

                                \[ = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\ln \left| x \right|} \right|_{ - 1}^2 = \frac{2}{3} + \ln 2.\]