Cho hàm số f ( x ) = ⎧ ⎨ ⎩ √ x − 1 − 1 x 2 − 3 x + 2 k h i x ≠ 2 2 a + 1 6 k h i x = 2 và g ( x ) = sin π x 4 . Khi đó: a) Giới hạn lim x → 2 f ( x ) = 1 2

15/22

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{\frac{{2a + 1}}{6}}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\). Khi đó:

a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\)

b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

c) Khi \(a = 1\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)

d) Khi \(a = 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: \(f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \frac{1}{2}.\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).

Ta có: \(g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).