Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = x + sin x và f ( 0 ) = 1 . Tìm f ( x )

10/20

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]

\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]

\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x - 2.\]

\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x.\]

\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} } \]\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C.\]

Mà \[f\left( 0 \right) = 1\] nên \[\frac{{{0^2}}}{2} - \cos 0 + C = 1\] hay C = 2.

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]