Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và lim x → − ∞ f ( x ) = 1 ; lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ − 2020 ; 2020 ] để đồ thị hàm số g

Đáp án: \[499\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2f\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right] =  - \infty \] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right)\].\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\sqrt {2f\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)}  + m} \right] = 1 + m\].\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + 1000x}  + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{1000x}}{{\sqrt {{x^2} + 1000x}  - x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{1000}}{{ - \sqrt {1 + 1000/x}  - 1}}} \right] =  - 500.\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \frac{{ - 500}}{{1 + m}}\left( {m \ne  - 1} \right)\] suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[g\left( x \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{{ - 500}}{{1 + m}}\]

Để đồ thị hàm số \[g\left( x \right)\] có tiệm cận ngang nằm dưới đường thẳng \[y =  - 1\] khi và chỉ khi \[\frac{{ - 500}}{{1 + m}} <  - 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 499}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 499\] mà \[m\] nguyên thuộc \[\left[ { - 2020;2020} \right]\] nên \[m \in \left\{ {0;1;2;...;498} \right\}\].

Vậy có \[498 - 0 + 1 = 499\] giá trị nguyên của \[m\].