Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R . Gọi F ( x ) , G ( x ) là hai nguyên hàm của f ( x ) trên R thỏa mãn 2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1 , F ( 2 ) − 2 G ( 2 ) = 4 và F ( 1 ) − G ( 1 ) =

17/22

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = 1\), \(F\left( 2 \right) - 2G\left( 2 \right) = 4\) và \(F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = - 1\). Tính \(\int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{{2x}}} \,{\rm{d}}x\).

Giải thích

Trả lời: −4

Ta có: \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\)

\[\left\{ \begin{array}{l}2F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = 1\\F\left( 2 \right) - 2G\left( 2 \right) = 4\\F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(0) - C = 1\\ - F(2) - 2C = 4\\C = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(0) = 2\\F(2) = - 6\\C = 1\end{array} \right.\].

Do đó \(\int\limits_0^2 f \left( x \right){\rm{d}}x = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 8\).

Vậy \(\int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{{2x}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{2}} \,{\rm{d}}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( u \right)} \,{\rm{d}}u = - 4\).