Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và f( 0) + f(1) = 0. Biết

Đáp án B.

Ta có∫01f'x.cosπxdx

=∫01cosπxdfx=fx.cosπx01−∫01fx.cosπx'dx 

=−f1+f0+π∫01fx.sinπxdx=π2⇒∫01fx.sinπxdx=12. 

Xét ∫01fx+k.sinπx2dx=0

⇔∫01f2xdx+2k.∫01fx.sinπxdx+k2.∫01sin2πxdx=0 

⇔12k2+2k.12+12=0⇔k+12=0⇔k=−1.

Suy ra ∫01fx−sinπx2dx=0. 

Vậyfx=sinπx⇒∫01fxdx=∫01sinπxdx=2π.