Cho hàm số f ( x ) .Biết f ( 0 ) = 4 và f ′ ( x ) = 2 cos^2 x/2 + 3 , ∀ x ∈ R , khi đó pi/ 4 ∫ 0 f ( x ) dx bằng?

12/25

Cho hàm số \[f(x)\].Biết \[f(0) = 4\] và \[f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\], khi đó \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \] bằng?

\[\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 8 - \sqrt 2 }}{8}\].

\[\frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}\].

\(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi + 8}}{8}\).

\[\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 4\sqrt 2 }}{8}\].

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có \[f(x) = \int {f'(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} \]\( = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} \)\[ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C\].

\[ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C\]

do\[f(0) = 4 \Rightarrow C = 4\].

Vậy \[f(x) = \sin x + 4x + 4\] nên \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx\]

\[ = \left. {( - \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}\].