Cho hàm số f ( x ) = (ax + 1)/( bx + c ) ( a , b , c ∈ R ) có bảng biến thiên như sau: Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{c}{b}\) và đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\).

Từ bảng biến thiên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{c}{b} = 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = - \frac{c}{2}\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \(f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\).

Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên

\(f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow ac - b > 0\)\(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\), ta được: \( - \frac{{{c^2}}}{2} + \frac{c}{2} > 0 \Leftrightarrow - {c^2} + c > 0 \Leftrightarrow 0 < c < 1\).

Suy ra c là số dương và a, b là số âm.

Trả lời: 1.