Cho hàm số f ( x ) = a x^ 3 + b x^ 2 + c x + d ( a , b , c , d ∈ R ) có đồ thị như hình bên. Đặt g ( x ) = f ( x ^2 + x + 2 ) . Số nghiệm của phương trình g ( x ) = − 2 là?

Đáp số: 0.

Hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), có đồ thị như hình vẽ.

Nhận xét \(A\left( {0;4} \right)\) và \(M\left( {2;0} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 4\\f\left( 2 \right) = 0\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 4\\8a + 4b + 2c + d = 0\\3a - 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c = 0\\d = 4\end{array} \right.\).

Tìm được hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4\).

Ta có \(g\left( x \right) = {\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3} - 3{\left( {{x^2} + x + 2} \right)^2} + 4\).

Khi đó \(g'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\left[ {3{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2} - 6\left( {{x^2} + x + 2} \right)} \right]\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm của phương trình \[g\left( x \right) =  - 2\] là 0.