Cho hàm số f ( x ) = { √ 3 − x + 1 k h i x ≤ 3 a x k h i x > 3 . Với giá trị nào của a thì hàm số f ( x ) liên tục tại x = 3 ?

22/38

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3 - x} \, + 1\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \le 3\\ax\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 3\end{array} \right.\]. Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 3\)?

\(a = - 3.\)

\(a = - \frac{1}{3}.\)

\(a = 3.\)

\(a = \frac{1}{3}.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\sqrt {3 - x} + 1} \right) = \sqrt {3 - 3} + 1 = 1;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} ax = 3a;\) \(f\left( 3 \right) = \sqrt {3 - 3} + 1 = 1.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)

\( \Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}.\)