Cho hàm số f ( x ) = 3 cos^2 (x/2) + sin x . Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 5 . Tính giá trị F ( pi/ 4 ) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Giải thích
Trả lời: 7,53
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{{\cos }^2}\frac{x}{2} + \sin x} \right)} dx\)\( = \int {\left( {3\frac{{1 + \cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\)
\[ = \int {\left( {\frac{3}{2} + \frac{{3\cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\]\[ = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + C\].
Vì \(F\left( 0 \right) = 5\) nên \[F\left( 0 \right) = - 1 + C = 5 \Rightarrow C = 6\].
Do đó \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + 6\].
Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{3}{2}.\frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} + 6 \approx 7,53\].