Cho hàm số \(f( x ) = 2x + {e^x}\). Biết \(F( x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f( x ) thỏa mãn

13/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x + {e^x}\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2025\).

a) \(f\left( 2 \right) = 4 + e\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\).

c) \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2024\).

d) \(\int {xf'\left( {{x^2}} \right)dx} = \int {x\left( {2 + {e^{{x^2}}}} \right)dx = {x^2} + x{e^{{x^2}}} + C} \).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(f\left( 2 \right) = 2.2 + {e^2} = 4 + {e^2}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\).

c) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\) mà \(F\left( 0 \right) = 2025\) nên \(1 + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024\).

Vậy \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2024\).

d) \(f'\left( x \right) = 2 + {e^x}\)

Ta có \(\int {xf'\left( {{x^2}} \right)dx} = \int {x\left( {2 + {e^{{x^2}}}} \right)dx = \int {2xdx} + \int {x{e^{{x^2}}}dx} = {x^2} + \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C} \).