Cho hàm số f ( x ) = { 2x + 3 khi x ≥ 1 ; 3x^2 + 2 khi x < 1 . Giả sử F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên R thỏa mãn F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( − 1 ) + 2 F ( 2 ) bằng b
Giải thích
Trả lời: 21
Khi \(x \ge 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}\).
Khi \(x < 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}\).
Theo giả thiết \(F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\).
Suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Do đó hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1\).
Vậy \(F( - 1) + 2F(2) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21\).