Cho hai vị trí cách nhau , cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ và đến bờ sông lần lượt là và . Một người đi từ đến bờ sông để lấy nước mang về . Xác định độ dài đoạn đường ngắn

Gọi \[E,F\]là hình chiếu của \[A,B\]trên bờ sông. \[D\]là hình chiếu của \[A\]trên \[BF\].

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác \[ADB\]ta có

\[AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {{{615}^2} - {{\left( {487 - 118} \right)}^2}} = 492\,\,{\rm{m}}\].

Đặt \[EM = x\,\left( {0 \le x \le 492} \right)\]ta có quãng đường mà người đi lấy nước phải đi là

\[S = AM + MB = \sqrt {{{118}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} = \sqrt {{{118}^2} + {x^2}} + \sqrt {{x^2} - 984x + 479233} \].

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{{118}^2} + {x^2}} + \sqrt {{x^2} - 984x + 479233} \] trên đoạn \[\left[ {0;492} \right]\].

Cách 1: Sử dụng máy tính dừng chức năng TABLE thu được \[\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;492} \right]} f\left( x \right) = 779,8\,{\rm{m}}\].

Cách 2: Ta có \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} + \frac{{x - 492}}{{\sqrt {{x^2} - 984x + 479233} }}\]

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{x^2} - 984x + 479233} }} \Rightarrow 223245{x^2} + 13701216x - 13924 \cdot 242064 = 0\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{58056}}{{605}}\\x = - \frac{{472}}{3}\;\left( l \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}\].

Ta có BBT:

Vậy \[\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;492} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8\,{\rm{m}}\].