Cho hai số thực không âm a,b thỏa a + b = 2. Chứng minh 7/2 nhỏ hơn hoặc bằng 1/(a^3) + (b^3) + 3/(ab) nhỏ hơn hoặc bằng 7/(2ab)

Hướng dẫn giải

Ta có \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) nên \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge 2ab\).

Suy ra \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{3}{{ab}} \le \frac{7}{{2ab}}\).

Ta lại có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right){\,^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 8 - 6ab\).

Suy ra \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{3}{{ab}} = \frac{1}{{8 - 6ab}} + \frac{3}{{ab}}\).

Đặt \(t = ab\) nên \(t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]\).

Ta chứng minh \(\frac{1}{{8 - 6t}} + \frac{3}{t} \ge \frac{7}{2}\)

\(2\left( {24 - 17t} \right) \ge 7t\left( {8 - 6t} \right)\)

\(42{t^2} - 90t + 48 \ge 0\)

\(6\left( {t - 1} \right)\left( {7t - 8} \right) \ge 0\) (đúng vì \(t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]\))