Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn (a + b khác 2). Chứng minh

Cách 1:

• Ta có: \[\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\,\,\,\left( 1 \right)\]

\( \Leftrightarrow {a^2}\left( {{b^2} + a} \right) + {b^2}\left( {{a^2} + b} \right) \le \left( {{a^2} + b} \right)\left( {{b^2} + a} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + 2{a^2}{b^2} \le {a^3} + {b^3} + {a^2}{b^2} + ab\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} \le ab\,\,\,\left( 2 \right)\)

• Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có:

\(2 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\( \Rightarrow \sqrt {ab}  \le 1 \Leftrightarrow ab \le 1 \Rightarrow {a^2}{b^2} \le ab\). Do đó \(\left( 2 \right)\) đúng.

Vì bất đẳng thức \[\left( 2 \right)\] đúng nên bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] đúng (đpcm).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 2}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 1} \right.\).

Cách 2:

Ta có \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} = 1 - \frac{b}{{{a^2} + b}};\frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 1 - \frac{a}{{{b^2} + a}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 2 - \left( {\frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}}} \right)\)

Ta chứng minh \(\frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}} \ge 1\)

Ta có \(VT = \frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}b + {b^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}a + {a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}b + {b^2} + {b^2}a + {a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2ab + {b^2} + {a^2}}} = 2\).

Do đó \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 2}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 1} \right.\).