Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a + b < = 2. Chứng minh a^2/(a^2 + b) + b^2/(b^2 + a) <= 1.
Giải thích
Cách 1: • Ta có:a2a2+b+b2b2+a≤1 1
⇔a2b2+a+b2a2+b≤a2+bb2+a⇔a3+b3+2a2b2≤a3+b3+a2b2+ab⇔a2b2≤ab 2
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và b ta có:
2≥a+b≥2ab⇒ab≤1⇔ab≤1⇒a2b2≤ab. Do đó (2) đúng.
Vì bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng (đpcm).
Dấu "=" xảy ra ⇔a+b=2a=b⇔a=b=1.
Cách 2: Ta có a2a2+b=1−ba2+b;b2b2+a=1−ab2+a.
⇒a2a2+b+b2b2+a=2−ba2+b+ab2+a.
Ta chứng minh ba2+b+ab2+a≥1.
Ta có VT=ba2+b+ab2+a=b2a2b+b2+a2b2a+a2≥a+b2a2b+b2+b2a+a2≥a+b22ab+b2+a2=2.
Do đó a2a2+b+b2b2+a≤1.
Dấu "=" xảy ra ⇔a+b=2a=b⇔a=b=1.