Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b > 0.Chứng minh {a^2} + {b^2} + {ab + 1} / {a + b} ^ 2 > 2

Với hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0\], ta có:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2\)

\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right){\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 2{\left( {a + b} \right)^2}\]

\[{\left( {a + b} \right)^2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right] + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\]

\[{\left( {a + b} \right)^4} - 2ab{\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\]

\[{\left( {a + b} \right)^4} - 2{\left( {a + b} \right)^2}\left( {ab + 1} \right) + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 0\]

\[{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0\] (luôn đúng với mọi số thực \[a,\,\,b\]).

Vậy ta có điều phải chứng minh.