Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

⇒b2−4ac>0.

Xét phương trình đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

có ba−2p22+1a22−ca=b2a−p2+12a2−ca

=b24a2−ba.p+p2+14a2−ca=b24a2−ca−ba.p+p2+14a2=b2−4ac4a2−ba.p+p2+14a2

Vì b < 0 và b2−4ac>0 (chứng minh trên) nên −ba.p> 0 và b2−4ac4a2>0

Do đó ba−2p22+1a22−ca>0.

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c ⇒ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

⇒ y2 – 2px = 0 và x2+bax+ca−ya=0

⇒x2+bax+ca−ya+y2−2px=0

⇒x2+y2+bax−2px−ya+ca=0

⇒x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).