Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh AC lấy điểm M và trên cạnh BF lấy điểm N sao cho AM/AC = BN/BF =1/a. Tìm a để MN song song DE

Lời giải

Trả lời: \(3\).

Ta có: \(MN//DE\) nên bốn điểm \(M,N,D,E\) đồng phẳng.

Trong mặt phẳng \((MNED)\), gọi \(I = DM \cap NE \Rightarrow I \in AB,AB = (ABCD) \cap (ABEF)\),

khi đó: \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IN}}{{NE}}\).

Đặt \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = k\), ta có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = k(1) \Rightarrow \frac{{AC - MC}}{{AC}} = k \Rightarrow 1 - \frac{{MC}}{{AC}} = k \Rightarrow \frac{{MC}}{{AC}} = 1 - k(2).\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\); tương tự ta chứng minh được \(\frac{{BN}}{{FN}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Vì \(AB//CD\) nên \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IA}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\);

Vì \(AB//EF\) nên \(\frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Mặt khác \(\frac{{AI}}{{DC}} + \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{AI}}{{FE}} + \frac{{BI}}{{EF}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{k}{{1 - k}} = 1\)

\( \Rightarrow 2k = 1 - k \Rightarrow k = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)Suy ra \(a = 3\). Vậy với \(a = 3\) thì \(MN//DE\).