Cho hai hàm số \(y = - 2{x^2}\) và \(y = - 2x - 4.\) 1) Vẽ đồ thị các hàm số này trên
1) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)
Ta có bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:
Vẽ các điểm \(\left( { - 2; - 8} \right),\) \(\left( { - 1; - 2} \right),\) \(\left( {0;0} \right),\) \(\left( {1; - 2} \right),\) \(\left( {2; - 8} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Vẽ đường parabol đi qua năm điểm trên, ta nhận được đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\) (hình vẽ). ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4.\) Cho \(x = 0\) ta có \(y = - 4.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0; - 4} \right).\) | Đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) và \(y = - 2x - 4\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ:  |
Cho \(y = 0\) ta có \(x = - 2.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( { - 2;0} \right).\)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;0} \right)\) ta được đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4\) (hình vẽ).
2) ⦁Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4\) và \(y = - 2{x^2},\) khi đó ta có: \({y_0} = - 2{x_0} - 4\) và \({y_0} = - 2x_0^2.\)
Suy ra \( - 2{x_0} - 4 = - 2x_0^2\) hay \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\)
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\)nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm là \({x_0} = - 1\) và \({x_0} = 2.\)
Với \({x_0} = - 1,\) ta có \({y_0} = - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 2;\)
Với \({x_0} = 2,\) ta có \({y_0} = - 2 \cdot 2 - 4 = - 8.\)
Vậy tọa độ giao điểm \(C,\,\,D\) của hai đồ thị là: \(C\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(D\left( {2; - 8} \right),\) hoặc \(C\left( {2; - 8} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 2} \right).\)
⦁ Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(y = - 2x - 4.\)
Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(O\) xuốngđường thẳng \[CD,\] ta có \(OH \bot CD.\)
Ta có \(A\left( {0; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\) suy ra \(OA = 4,\,\,OB = 2.\)
Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) có:
⦁ \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}\) (định lí Pythagore)
Suy ra \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .\)
⦁ \(\sin \widehat {OBA} = \frac{{OA}}{{AB}}.\)
Xét \(\Delta OBH\) vuông tại \(H,\) có: \(\sin \widehat {OBH} = \frac{{OH}}{{OB}}.\)
Suy ra \(\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OH}}{{OB}},\) do đó \(OH = \frac{{OA \cdot OB}}{{AB}} = \frac{{4 \cdot 2}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) bằng \(\frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)