Cho hai hàm số y = 1/2x^2 có đồ thị (P).

a) • Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol có bề lõm hướng lên phía trên.

Bảng giá trị:

\(x\)	\( - 2\)	\( - 1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y = \frac{1}{2}{x^2}\)	\(2\)	\(\frac{1}{2}\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(2\)

Vậy parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( { - 2;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\)\(\,\,D\left( { - 2;\,\,2} \right)\).

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

 

b) • Cho \(y = 0 \Rightarrow  - x + b = 0 \Leftrightarrow x = b\)

Suy ra đường thẳng \(y =  - x + b\) cắt \(Ox\) tại \(E(b;\,\,0)\).

• Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0 + b = b\)

Suy ra đường thẳng \(y =  - x + b\) cắt \(Oy\) tại \(F(0;\,\,b)\).

 

Xét \(\Delta OEF\) có:

• \(OE \bot OF\) (do \(Ox \bot Oy\))

• \(OE = OF = b\) (do \(b > 0\))

Do đó \(\Delta OEF\) vuông cân tại \(O\).

Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là trung điểm của cạnh huyền \(EF\).

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là \(H\).

Ta có \(HM \bot Ox;\,\,OF \bot Ox\) suy ra \(HM\,{\rm{//}}\,OF\) (từ vuông góc đến song song).

Mà \(H\) là trung điểm của \(EF\) nên \(M\) là trung điểm của \(OE\) (theo tính chất đường trung bình của tam giác).

Do đó \(HM\) là đường trung bình của tam giác \(OEF\) suy ra \(HM = \frac{1}{2}OF = \frac{b}{2}\).

Chứng minh tương tự, ta tính được \(HN = \frac{b}{2}\).

Do đó \(H\left( {\frac{b}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right)\).

Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OEF\) là một điểm thuộc \((P)\) khi và chỉ khi \(H\left( {\frac{b}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right) \in (P)\).

Khi đó \(\frac{b}{2} = \frac{1}{2}\,.\,{\left( {\frac{b}{2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{{{b^2}}}{8}\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 4b = 0\)

\( \Leftrightarrow b\left( {b - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,{\rm{(KTM)}}\\b = 4\,\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\)

Vậy \(b = 4\) là giá trị cần tìm.