Cho hai đường tròn (O1; R1), (O1; R2) cắt nhau tại H và K, đường thẳng O1H cắt (O1) tại A, cắt (O2) tại B,

Giải chi tiết

Gọi giao điểm của AC với BD là E. Các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn O1 có cạnh HA là đường kính nên ΔACH vuông tại C, ΔAHK vuông tại K.

Suy ra: DC⊥AE              1HK⊥AK              2

Lại có tam giác HDK và HDB nội tiếp đường tròn O2 có cạnh HD là đường kính nên ΔHKD vuông tại K, ΔHBD vuông tại B.

Suy ra: HK⊥KD              3AB⊥DE              4

Từ (2) và (3) suy ra A, K, D thẳng hàng nên HK⊥AD                          (5)

Từ (1) và (4) suy ra H là trực tâm của ΔAED, do đó EH⊥AD             (6)

Từ (5) và (6) suy ra H∈EK (vì qua H ở ngoài đường thẳng AD chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với AD).

Vậy AC, BD, HK đồng quy tại E là giao điểm của AC và BD.