Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ hai bán kính OM và O'N song song với nhau thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO'

Ta có ∆OAM cân tại O suy ra \(\widehat {AOM} = 180^\circ - 2\widehat {{A_1}}\). (1)

∆O'AN cân tại O nên \(\widehat {AO'N} = 180^\circ - 2\widehat {{A_2}}\) (2)

Cộng (1) và (2) theo vế, ta được:

\(\widehat {AOM} + \widehat {AO'N} = 360^\circ - 2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right)\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \frac{{360^\circ - \left( {\widehat {AOM} + \widehat {AO'N}} \right)}}{2}\) (3)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {AO'N} = 180^\circ \).

Từ (3) suy ra \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \frac{{360^\circ - \left( {\widehat {AOM} + \widehat {AO'N}} \right)}}{2} = \frac{{360^\circ - 180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Ta có: \(\widehat {MAN} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 90^\circ \).

Vậy ∆MAN vuông tại A.