Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD câ

Gọi E là trung điểm của AC.

Suy ra AE = CE và OE ⊥ AC    (1)

Gọi F là trung điểm của AD.

Suy ra AF = FD và O’F ⊥ AD  (2)

Từ (1), (2), suy ra OE // O’F.

Mà MA ⊥ CD (do giả thiết).

Do đó OE // MA // O’F.

Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang có MA là đường trung bình (vì M là trung điểm OO’).

Suy ra A là trung điểm của EF.

Do đó AE = AF.

Vì vậy 2AE = 2AF.

Suy ra AC = AD.

Khi đó A là trung điểm của CD.

Tam giác MCD có MA vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Vậy tam giác MCD cân tại M.