Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C

 

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.

Suy ra OD // O’E nên BOD^=AO'E^  (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R)nên OBD^=ODB^

Mà OBD^+ODB^+BOD^=180° nên ODB^=OBD^=180°-BOD^2 (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có O'AE^=O'EA^=180°-AO'E^2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  OBD^=O'EA^ (4)

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên O'CE^=O'EC^ (5)

Mà  O'EA^+O'EC^=AEC^=90°

Từ (4), (5) và (6) suy ra OBD^+O'CE^=90°  hay CBM^+BCM^=90°

Ta lại có CBM^+BMC^+BCM^=180° (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó BMC^=180°-(CBM^+BCM^)=180°-90°=90° hay DME^=90°

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra DO=12AB nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.

Xét tứ giác ADME có DME^=ADM^=AEM^=90° nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên IA=IM=12AM=12DE=ID=IE

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra OAI^=ODI^=90° hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có MED^+AED^=AEM^=90° và O'EA^+AED^=O'ED^=90° nên O'EA^=MED^

Lại có OBD^=O'EA^ (chứng minh ở câu a) nên OBD^=MED^  hay MBC^=MED^

Xét ∆BCM và ∆EDM có: BMC^ là góc chung vàMBC^=MED^

Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên  MBME=MCMD

Suy ra MD . MB = ME . MC.