Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt (O), (O’) lần lượt tại B, C.

Phân tích đề bài

c) KI là tiếp tuyến của (O’)

                     ⇕

                KI⊥IO'

                     ⇕

              I2^+I3^=90°

                     ⇕ có AIC^=90°

                  I2^=I1^

Giải chi tiết

a) Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK = EK (quan hệ đường kính và dây cung).

Mà BK = CK (giả thiết), do đó tứ giác BDCE là hình bình hành, lại có BC⊥DE nên BDCE là hình thoi.

b) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn (O) có BA là đường kính nên  vuông tại D.

Gọi I’ là giao điểm của DA với CE thì AI'C^=90° (vì so le trong với BDA^).           (1)

Lại có ΔAIC vuông tại I (ΔAIC nội tiếp đường tròn (O’) có AC là đường kính)

⇒AIC^=90°.                                                                                                              (2)

Từ (1) và (2) suy ra I = I’. Vậy D, A, I thẳng hàng.

c) Vì ΔDIE vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên KD = KI = KE.

⇒D1^=AIK^.                                                                                                               (3)

Lại có D1^=C1^ (cùng phụ với DEC^).                                                                         (4)

            C1^=I1^ (vì IO’ = CO’ là bán kính của đường tròn (O’)).                                (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra I1^=I2^⇒I2^+I3^=I1^+I3^=90° hay KIO'^=90°. Do đó KI vuông góc với bán kính O’I của đường tròn (O’). Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).