Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r). Dây AB của (O; R) tiếp xúc với (O; r)

a) Kẻ OH⊥ABH∈AB,OK⊥CDK∈CD.

Ta có OH = OK (bán kính đường tròn (O; r) nên AB = CD (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).

Mà HA=HB=12AB, KD=KC=12DC (quan hệ đường kính và dây cung)

Nên HA=HB=DK=KC.                                               (1)

EH và EK là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; r) nên theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: HE = EK.                                                   (2)

Từ (1) và (2) ta có: EH+HA=EK+KC⇔EA=EC (đpcm).

b) Dễ thấy EBEH=EDEK⇒BD//HK.

Mà OE⊥HK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên BD⊥OE.

c) Ta có OH = r, OB = R. Ta tính được HB=R2−r2.

EB=AB=2BH⇒EH=3BH=3R2−r2.

OE=EH2+OH2=9R2−r2+r2=9R2−8r2 (không đổi).

Do O cố định nên E luôn chạy trên đường tròn O;9R2−8r2.