Cho hai chiếc ly A và B có dạng hình nón giống hệt nhau với chiều cao h = 12 cm. Ly A đựng lượng nước có chiều cao h1, ly B lượng nước có chiều cao h2 (biết 0 < h1 < h; 0 < h2 < h).

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của ly hình nón. Lượng nước trong ly có chiều cao \(x\) thì bán kính mặt nước tương ứng là \({r_x} = \frac{{R.x}}{h}\).

Thể tích nước khi đó là: \({V_x} = \frac{1}{3}\pi .r_x^2.x = \frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.{x^3}\).

Theo giả thiết, đổ nước từ ly A vào ly B thì ly B đầy nước, ta có:

\({V_{{h_1}}} + {V_{{h_2}}} = {V_h}\)

\(\frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.h_1^3 + \frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.h_2^3 = \frac{{\pi {R^2}}}{{3{h^2}}}.{h^3}\)

\(h_1^3 + h_2^3 = {h^3}\)

Với \(h = 12\) cm, ta có: \(h_1^3 + h_2^3 = {12^3} = 1728\) \((1)\).

Sử dụng hằng đẳng thức:

\(h_1^3 + h_2^3 = {({h_1} + {h_2})^3} - 3{h_1}.{h_2}.({h_1} + {h_2})\)

Áp dụng bất đẳng thức phụ: \({h_1}.{h_2} \le \frac{{{{({h_1} + {h_2})}^2}}}{4}\), ta có:

\(h_1^3 + h_2^3 \ge {({h_1} + {h_2})^3} - 3.\frac{{{{({h_1} + {h_2})}^2}}}{4}.({h_1} + {h_2})\)

\(h_1^3 + h_2^3 \ge {({h_1} + {h_2})^3} - \frac{3}{4}.{({h_1} + {h_2})^3}\)

\(h_1^3 + h_2^3 \ge \frac{1}{4}.{({h_1} + {h_2})^3}\)

0,25

Thay \((1)\) vào đánh giá trên:

\(1728 \ge \frac{1}{4}.{({h_1} + {h_2})^3}\)

\({({h_1} + {h_2})^3} \le 6912\)

\({h_1} + {h_2} \le \sqrt[3]{{6912}} = 12\sqrt[3]{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \({h_1} = {h_2} = 6\sqrt[3]{4}\) cm.

Vậy \(Max\,\,S = 12\sqrt[3]{4}\) khi và chỉ khi \({h_1} = {h_2} = 6\sqrt[3]{4}\) cm.

0,25