Cho hai biểu thức P = x + 3/√ x − 2 và Q = √ x − 1/√ x + 2 − 5 √ x − 2/x − 4 và x > 0 , x ≠ 4 . 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9 .

a) Thay \(x = 9\)(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\), ta được:

\(P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12\).

Vậy \(P = 12\) khi \(x = 9\).

b) Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:

\[Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\].

\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

Vậy \[Q\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\] (điều phải chứng minh).

c) Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:

\[\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

\[ = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\].

\[ = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\].

\[ = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[\sqrt x \] và \[\frac{3}{{\sqrt x }}\], ta được:

\[\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 \].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}\].

Suy ra \[x = 3\].

Vậy \[\frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \] (điều phải chứng minh).