Cho hai biểu thức M = x − 4/√ x + 3 và N = 5 √ x + 2/x + 2 √ x − 8 − 3/√ x + 4 với x ≥ 0 , x ≠ 4. (a) Tính giá trị biểu thức M khi x = 25 .

a) Thay \(x = 25\,\)(thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(M\), ta có:

\(M = \frac{{25 - 4}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{21}}{{5 + 3}} = \frac{{21}}{8}\).

Vậy \(M = \frac{{21}}{8}\) khi \(x = 25.\)

b) Với \(x \ge 0,x \ne 4\), ta có:

\(N = \frac{{5\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x - 8}} - \frac{3}{{\sqrt x + 4}}\)

\( = \frac{{5\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} - \frac{3}{{\sqrt x + 4}}\)

\( = \frac{{5\sqrt x + 2 - 3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{5\sqrt x + 2 - 3\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x + 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\)

Vậy \(N = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\).

c) Ta có: \(P = \frac{{M.N}}{2} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{1}{2}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 3 - 1}}{{\sqrt x + 3}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)

\( = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}\).

Vì \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3\).

Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3}\).

Do đó \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt x + 3}} \ge \frac{{ - 1}}{3}\).

Vì vậy \(P = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \ge 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{2}{3}\) khi \(x = 0\).