Cho hai biểu thức: A= x/ căn bậc hai x+ 1

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] tại \(x = 9\).

Với \(x = 9\) (TMĐK) ta có giá trị biểu thức \[A\]  là

\(A = \frac{9}{{\sqrt 9  + 1}} = \frac{9}{{3 + 1}} = \frac{9}{4}\)

Vậy \(A = \frac{9}{4}\) tại \(x = 9\).

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Với \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có

\(B = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{6}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{6}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\end{array}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x  - 4 - \sqrt x  - 1 + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

c) Đặt \(P = A.B\). Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(P \le 4\).

Ta có \(P = A.B\) \( = \frac{x}{{\sqrt x  + 1}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{x}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

Để \(P \le 4\) thì \(\frac{x}{{\sqrt x  - 1}} \le 4\)

\(\frac{x}{{\sqrt x  - 1}} - 4 \le 0\)

\(\frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}} \le 0\)

\(\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}} \le 0\)

Suy ra \({\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} = 0\) hoặc \(\sqrt x  - 1 < 0\).

+) \({\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} = 0\)

\(\sqrt x  - 2 = 0\)

\(\sqrt x  = 2\)

\(x = 4\) (TMĐK)

+) \(\sqrt x  - 1 < 0\)

\(\sqrt x  < 1\)

\(x < 1\)

Kết hợp ĐK \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có \(0 \le x < 1\).

Vậy \(P \le 4\) khi \(x = 4\) hoặc \(0 \le x < 1\).