Cho hai biểu thức: A = √ x + 7/√ x − 2 và B = 1/√ x + 2 + 2/2 − √ x + x − 3 √ x + 10/x − 4 với x ≥ 0 ; x ≠ 4 . 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49 .

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 49\).

Thế \(x = 49\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:

\[A = \frac{{\sqrt {49} + 7}}{{\sqrt {49} - 2}} = \frac{{7 + 7}}{{7 - 2}} = \frac{{14}}{5}\].

Vậy \[A = \frac{{14}}{5}\] khi \(x = 49\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).

Ta có: \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\).

\( = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{\sqrt x - 2 - 2\sqrt x - 4 + x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\) (điều phải chứng minh).

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên.

Ta có \(P = AB = \frac{{\sqrt x + 7}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).

\( = \frac{{\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 2}}\).

\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

\( = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

Biểu thức \(P\) đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) là số nguyên.

Với \(x \ge 0;x \ne 4\), ta có: \[\sqrt x \ge 0\].

Suy ra \[\sqrt x + 2 \ge 2\].

Khi đó \(\frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}\).

Vì vậy \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}\).

Suy ra \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\) (1)

Vì \(5 > 0\) và \[\sqrt x + 2 \ge 2 > 0\] nên \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\).

Suy ra \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 1\) (2)

Từ (1), (2), ta thu được: \(1 < P \le \frac{7}{2}\)

Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {2\,;\,3} \right\}\).

Với \(P = 2\), ta có: \(1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\).

Suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\).

Do đó \(\sqrt x + 2 = 5\).

Vì vậy \(\sqrt x = 3\).

Suy ra \(x = 9\).

Với \(P = 3\), ta có: \(1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 3\)\( \Rightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\).

Do đó \(2\sqrt x + 4 = 5\).

Vì vậy \(2\sqrt x = 1\).

Suy ra \(\sqrt x = \frac{1}{2}\).

Khi đó \(x = \frac{1}{4}\).

So với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\), ta nhận \(x = 9;\,\,x = \frac{1}{4}\).

Vậy \(x = 9;\,\,x = \frac{1}{4}\) thì biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên.