Cho hai biểu thức: A = (x − 4) / √ x và B = 3 √ x − 2 + 2 √ x + 3 /( 4 − x ) với x > 0 , x ≠ 4. 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Chứng minh B = √ x + 3 x − 4 .

9/12

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)

3) Xét biểu thức \(P = AB.\) Chứng minh \(P < {P^2}.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 9\) (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\], ta được: \(A = \frac{{9 - 4}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}.\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = \frac{5}{3}.\)

2) Với \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\), ta có:

\(B = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}} = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{x - 4}}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {2\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x + 6 - 2\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)

Vậy với \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}.\)

3) Với \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\), ta có:

⦁ \(P = AB = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x }} > 0.\) Do đó \(P > 0.\)

⦁ \[1 - P = 1 - \left( {1 + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right) = 1 - 1 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - \frac{3}{{\sqrt x }} < 0\]. Do đó \(1 - P < 0\).

Suy ra \(P\left( {1 - P} \right) < 0\) hay \(P - {P^2} < 0\) nên \(P < {P^2}.\)

Vậy \(P < {P^2}.\)